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Rückfaltung

 

Regt man ein System, hier einen natürlichen Raum, mit Hilfe eines breitbandigen Signals an und analysiert aus dem Antwortsignal des Raums seine Impulsantwort, so kann man durch Falten mit dieser Impulsantwort einem beliebigen Analogsignal die Klangcharakteristik dieses Raums aufprägen. Eine fundamentale Beziehung der digitalen Signalverarbeitung lautet: Die Faltung zweier Wellenformen entspricht der Multiplikation ihrer Spektren und vice versa die Multiplikation zweier Wellenformen der Faltung ihrer Spektren. Diese Beziehung erklärt auch in einfacher Weise das Auftreten von Aliasingfrequenzen bei der Signalabtastung, weil die Abtastung eine Multiplikation des analogen Audiosignals mit der Reihe von Einheitsimpulsen ist.

Mathematisch wird die Faltung (Convolution) wie folgt beschrieben:


mit N als Länge der Sequenz a in Abtastwerten und k Bereiche über die ganze Länge von b. Jeder Abtastwert a(n) dient als Gewichtungsfunktion für die verzögerte "Kopie" von b(t). Diese gewichteten und verzögerten Kopien werden addiert.

Am einfachsten erklärt sich die Faltung, wenn man den theoretischen Abtastprozeß zu Hilfe nimmt. Bei der Abtastung wird ein Analogsignal (a) mit dem Einheitsimpuls n gefaltet. Sofern dieser Impuls nur ein einziges Mal zum Zeitpunkt t = 0, (t) = 1, für alle anderen Werte von t, (t) = 0, auftritt, erhält man als Ergebnis:


Das Ergebnis der Gleichung (2) ist eine Reihe von Ausgangswerten, die den Eingangswerten entsprechen. Allgemein läßt sich also sagen: Jede Faltung mit einem einzelnen Einheitsimpuls beeinflußt das Originalsignal nicht.

Wird bei der Faltung eine Konstante c eingeführt, so erhält man:


Die Gleichung (3) zeigt, daß bei der Faltung die Konstante c ein Skalenfaktor ist, mit dem der Betrag der einzelnen Samples multipliziert wird. Führt man eine Zeitkonstante ein, die den Zeitpunkt des Einheitsimpulses um t verschiebt, kann man das durch die folgende Gleichung ausdrücken:


Das Ausgangssignal dieser Operation entspricht dem durch die Faltung um t auf der Zeitachse verschobenen Eingangssignal.

Mit dem mathematischen *-Zeichen wird die Faltung gekennzeichnet, es sollte nicht mit dem Zeichen für eine Multiplikation verwechselt werden. Die Ergebnisse einer Faltung zweier Signale sind von den Ergebnissen einer Multiplikation sehr verschieden. Die Multiplikation zweier Signale bedeutet: Jeder Abtastwert von a wird mit dem korrespondierenden Abtastwert von b multipliziert. Wendet man beispielsweise bei der Gleichung (2) statt der Faltung die Multiplikation an, so erhält man als Ergebnis, daß alle Ausgangswerte Null werden, außer dem Eingangswert, an dem der Einheitsimpuls 1 ist. Zwei Signale falten heißt dagegen: Jeder Abtastwert von a wird mit jedem Abtastwert von b multipliziert. Gewissermaßen erzeugt man dadurch ein Datenfeld (Array), wobei die Summe dieser Datenarrays dann das Ergebnis der Signalfaltung ist.